纳什均衡
2. 混合策略
纯粹策略就是玩家始终会在类似牌况中做出同样的决定。比如，小盲位总是会用A♣️7♥️全压，并且一定会弃掉A♣️6♥️。
混合策略就是所有选项在一个牌况中都有被选择的可能，尽管概率可能是0（绝不）或1（一直）。比如，小盲位用A♣️8♥️全压的概率可能是1，用A♣️7♥️全压的概率是0.5，A♣️6♥️全压的概率为0。
在两名玩家对抗的牌局中，其中一名玩家的目标是尽可能的多赢钱，那么这就可能使另一名玩家输很多钱。通过了解另一名玩家的策略，玩家可以调整自己的策略从而最大化进行剥削，如我们早期考虑哪些手牌能够用于跟注翻前全压一样。然而，此时这位玩家已经改变了自己剥削对手策略的策略，他的对手也会做同样的事并且剥削他的策略。这似乎创造了一个剥削策略的闭环：每次玩家改变自己剥削对付的策略，对付也会做同样的事。
幸运的是，数学家John Forbes Nash解决了这个问题，如何对付两个无法被剥削的策略。一个牌况中，两名玩家均使用无法被剥削的策略被称为“纳什均衡”。一个无法被剥削的策略指当一名玩家使用这个策略时，另一名玩家无法从中获得更多的利益。也就是说对抗一个均衡策略不存在应对策略。将这个运用到牌桌上，你的目的是游戏一个无法被剥削的策略直到你注意到对手犯错误，然后对这个错误进行剥削。
我们设计了一个例子用于提升大家对最佳策略的理解。下面这个版本有稍许改动：
警方盘问两名嫌疑人。他们可以决定回答或保持沉默。如果他们都保持沉默，他们每个人不得不支付250美元的罚金。如果他俩都选择回答，他俩也不得不支付250美元的罚金。但如果其中一人选择回答，另一人保持沉默，回答的那位不用支付一分钱，但保持沉默的那位必须支付500美元的罚金。他俩不能对选择进行交流。
将他们的结果做成表格如下：
此时将你自己想象成其中一名嫌疑犯。由于你的搭档并不诚实，你会保持沉默还是冒被罚$500的风险？或者你会祈求在自己回答时搭档保持沉默？
这是一个让人易于理解纳什均衡的典型博弈论问题。背后的逻辑就是均衡策略无法被剥削，意思就是对手改变他的均衡策略对你是有好处的。很显然双方的策略应该被讨论：如果嫌疑犯A一直回答，那么嫌疑犯B就该保持沉默，嫌疑犯B输钱；因此双方的交谈是一个无法被剥削的策略。
均衡策略的另一个例子就是小游戏“剪刀石头布”。两名游戏者会在同一时间公布自己的选择。剪刀击败布，布击败石头，石头击败剪刀。如果两名玩家的选择一样，那么就是平手。
设想玩家A的策略是一直选择布。玩家B显然能够通过一直出剪刀对其进行剥削。要了解一点，玩家A会一直选择出布。我们明白这并非是一个纯粹的均衡策略。
然而存在一个混合均衡策略：如果玩家完全随机选择，那么每一个选项被选择的概率就是三分之一，对手的期望值始终不变，不管他选择什么策略：他俩的输赢平局概率都是三分之一。因此，如果两名玩家都随机选择，他俩都不会从调整策略中获得优势，这就是均衡策略。
牌局中的均衡
玩家A不同策略的全部EV用公式表达为：
EV玩家A=（1-r）（-$5）+（r）{(1-c)($10)+(c)[(2)(筹码量)（权益范围rVSc）-筹码量]}
权益rVSc指玩家A加注手牌会击败玩家B跟注手牌的概率。
注意，由于这是零和牌局，因此EV玩家B=-EV玩家A
我们会假设筹码量为$200，经过估算我们知道玩家A的恰当全压范围应该在5-50%，玩家B的恰当跟注范围在5-30%。此时我们就可以通过计算机和上面公式来进行计算。对于公式中使用的权益，我们利用计算机来计算r范围对抗c范围的权益。结果如下表：
玩家A想要最大化他的EV，所以他想要选择r最小化EV的策略。玩家B也想最大化自己的EV，那么他自然也会选择最小化玩家A期望值的策略，那么他会选择c最小化EV的策略。
很明显，不管玩家B的策略是什么，只要他游戏的手牌不高于40%，玩家A的EV始终都会在高位。我们假设游戏40%的手牌，因为不管大盲位玩家采取什么打法，40%的手牌始终都会表现得很好，玩家A绝不会游戏5%、10%、20%或30%的策略，所以我们可以从图表中移除这些：
玩家B此时20%的跟注率始终都好于5%或10%的时候，我们继续移除我们得到了下图：
可以看出玩家A那40%的加注策略优于50%的时候：
玩家B游戏20%于他来说是最好的，所以我们发现纳什均衡给出的r=40%，c=20%，也就是下面的范围：
l 小盲位全压范围：44+、A2s+、K2s+、Q4s+、J7s+、T7s+、97s+、87s、A3o+、K7o+、Q8o+、J8o+、T9o。
l 大盲位跟注范围：66+、A4s+、K8s+、Q9s+、J9s+、T9s、A9o+、KTo+、QTo+、JTo。
当然，这只是一种估算：正确的范围可能会在40%和20%，但这只是一个估算范围。
所以使用一个计算机程序，我们发现正确的范围实际上是r=40.6%，c=21.7%。但是，这些数据包含的手牌范围和标准的范围有点不同，这些范围为：
l 小盲位全压范围：22+、A2s+、K4s+、Q6s+、J7s+、T6s+、96s+、85s、75s+、64s+、54s+、A2o+、K9o+、Q9o+、J9o+、T9o、98o。
l 大盲位跟注范围：33+、A2s+、K9s+、QTs+、A5o+、KTo+。
这些不同看似差别有点大，但从期望值的角度来说我们估算的手牌范围与其差距不大。
利用手牌找到均衡策略需要很多工作，在涉及多名玩家时会变得几乎不太可能。幸运的是有电脑的存在。为了方便，我们已经计算出了好几个有用的均衡图表，可供大家在翻前存在短码玩家的牌况中使用。大家可在本书最后附录部分找到这些图表。
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